Táto práca má slúžit ako úvod do zlomkového kalkulu. V prvej kapitole opisujeme funkcie využívané v tejto práci. Druhá kapitola má za úlohu oboznámiť čitateľa so základnými definíciami zlomkového kalkulu. V tretej kapitole predstavujeme ich základné vlastnosti, ktoré sú najčastejšie využívané pri operácii so zlomkovými deriváciami a integráciami. V štvrtej kapitole popisujeme základ metódy zlomkovej Laplaceovej transformácie s názornými príkladmi. Príklady využitia zlomkového kalkulu v praxi sú obsiahnuté v piatej kapitole. Šiesta kapitola obsahuje geometrickú interpretáciu zlomkového kalkulu podla I. Podlubného. Tam, kde to bolo vhodné, sú pridané grafy relevantných funkcií.
Annotation in English
This thesis is to be used as introduction to fractional calculus. In the first chapter we describe functions used in this thesis. The purpose of the second chapter is to familiarize the reader with basic definitions of fractional calculus. In the third chapter we present their basic properties that are most commonly used in operations with fractional derivatives and integrals. In the fourth chapter we describe the basis of fractional Laplace transform method with illustrative examples. Examples of applications of fractional calculus are placed in the fifth chapter. The the sixth chapter contains geometric interpretation of fractional calculus according to I. Podlubny. Charts of relevant functions are added, where appropriate.
Táto práca má slúžit ako úvod do zlomkového kalkulu. V prvej kapitole opisujeme funkcie využívané v tejto práci. Druhá kapitola má za úlohu oboznámiť čitateľa so základnými definíciami zlomkového kalkulu. V tretej kapitole predstavujeme ich základné vlastnosti, ktoré sú najčastejšie využívané pri operácii so zlomkovými deriváciami a integráciami. V štvrtej kapitole popisujeme základ metódy zlomkovej Laplaceovej transformácie s názornými príkladmi. Príklady využitia zlomkového kalkulu v praxi sú obsiahnuté v piatej kapitole. Šiesta kapitola obsahuje geometrickú interpretáciu zlomkového kalkulu podla I. Podlubného. Tam, kde to bolo vhodné, sú pridané grafy relevantných funkcií.
Annotation in English
This thesis is to be used as introduction to fractional calculus. In the first chapter we describe functions used in this thesis. The purpose of the second chapter is to familiarize the reader with basic definitions of fractional calculus. In the third chapter we present their basic properties that are most commonly used in operations with fractional derivatives and integrals. In the fourth chapter we describe the basis of fractional Laplace transform method with illustrative examples. Examples of applications of fractional calculus are placed in the fifth chapter. The the sixth chapter contains geometric interpretation of fractional calculus according to I. Podlubny. Charts of relevant functions are added, where appropriate.
Vypracujte text sloužící jako úvod do zlomkového kalkulu. Zahrňte všobecnou motivaci, nezbytnou přípravnou notaci a terminologii (gamma funkce, Mittag-Lefflerova funkce a jiné), základní definice zlomkové derivace (Caputo, Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov).
Proveďte diskuzi rozdílů základních definic, jejich použití a souvislostí mezi nimi.
Vytvořte přehled vzorců pro vybrané funkce.
Popište základ metody zlomkové Laplaceovy transformace.
V rámci praktické části vytvořte geometrickou vizualizaci (grafy, animace) vybraných objektů z teoretické části v programu Matlab (nebo jiném).
Vypracujte geometrickou interpretaci zlomkových derivací podle Podlubného.
Research Plan
Vypracujte text sloužící jako úvod do zlomkového kalkulu. Zahrňte všobecnou motivaci, nezbytnou přípravnou notaci a terminologii (gamma funkce, Mittag-Lefflerova funkce a jiné), základní definice zlomkové derivace (Caputo, Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov).
Proveďte diskuzi rozdílů základních definic, jejich použití a souvislostí mezi nimi.
Vytvořte přehled vzorců pro vybrané funkce.
Popište základ metody zlomkové Laplaceovy transformace.
V rámci praktické části vytvořte geometrickou vizualizaci (grafy, animace) vybraných objektů z teoretické části v programu Matlab (nebo jiném).
Vypracujte geometrickou interpretaci zlomkových derivací podle Podlubného.
Recommended resources
Podlubny, I.: Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications. San Diego: Academic Press, c1999.
Oldham, K.B., Spanier, J.Fractional Calculus: Theory and Applications, Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Academic Press New York/London, UK, 1974.
Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo, J.J.: Theory and Applications of Differential Equations, Amsterdam, 2006.
Podlubny, I.: Geometrical and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation, Fract. Calc. Appl. Anal., 5 (4), pp. 367-386, 2002.
Podlubny, I.: The Laplace transform method for linear differential equations of the fractional order, arXiv:funct-an/9710005, 1997.
Recommended resources
Podlubny, I.: Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications. San Diego: Academic Press, c1999.
Oldham, K.B., Spanier, J.Fractional Calculus: Theory and Applications, Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Academic Press New York/London, UK, 1974.
Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo, J.J.: Theory and Applications of Differential Equations, Amsterdam, 2006.
Podlubny, I.: Geometrical and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation, Fract. Calc. Appl. Anal., 5 (4), pp. 367-386, 2002.
Podlubny, I.: The Laplace transform method for linear differential equations of the fractional order, arXiv:funct-an/9710005, 1997.
