Tato bakalářská práce pojednává o numerických metodách řešení pro obyčejné diferenciální rovnice. V teoretické části definuji pojmy diferenciálních rovnic, jejich způsoby řešení, důležitost ve vědě. Dále představuji software Mathematica, příkazy pro numerická řešení, jejich parametry. V praktické části představuji algoritmy pro jednotlivé metody řešení, které ukazuji na ukázkových příkladech. Dále řeším konkrétní úlohu, která vede na obyčejnou diferenciální rovnici.
Annotation in English
This bachelor thesis deals with numerical methods of solving ordinary differential equations. In the theoretical part I explain what are differential equations, how to solve them and their importance in sciences. Furthermore I introduce the software Mathematica. I show commands for numerical solutions and their parametres. In the practical part there are demostrated creating algorithms for solving particular methods and I show them in sample examples. Also I solve a practical problem, which leads to an ordinary differential equation.
Tato bakalářská práce pojednává o numerických metodách řešení pro obyčejné diferenciální rovnice. V teoretické části definuji pojmy diferenciálních rovnic, jejich způsoby řešení, důležitost ve vědě. Dále představuji software Mathematica, příkazy pro numerická řešení, jejich parametry. V praktické části představuji algoritmy pro jednotlivé metody řešení, které ukazuji na ukázkových příkladech. Dále řeším konkrétní úlohu, která vede na obyčejnou diferenciální rovnici.
Annotation in English
This bachelor thesis deals with numerical methods of solving ordinary differential equations. In the theoretical part I explain what are differential equations, how to solve them and their importance in sciences. Furthermore I introduce the software Mathematica. I show commands for numerical solutions and their parametres. In the practical part there are demostrated creating algorithms for solving particular methods and I show them in sample examples. Also I solve a practical problem, which leads to an ordinary differential equation.
Definujte pojmy obyčejná diferenciální rovnice (ODR), počáteční úloha, numerické řešení ODR.
Odvoďte Eulerovu metodu a její modifikace pro přibližné řešení ODR, vysvětlete pojem Taylorova řada a možnosti jejího využití při řešení ODR, popište metodu Runge-Kutta.
Popište způsob odhadu chyby numerického řešení.
Popište příkaz NDSolve ze software Mathematica, jeho parametry a metody, které využívá při řešení ODR.
Naprogramujte v software Mathematica výše zmíněné metody řešení. Na jednoduchých příkladech pak ukažte rozdíly v přesnosti výpočtu, náročnosti výpočtu apod. Ukázkové příklady řešte i pomocí příkazu NDSolve.
Řešte konkrétní praktickou úlohu (návrh matematického modelu, řešení v software Mathematica, zhodnocení výsledků).
Research Plan
Definujte pojmy obyčejná diferenciální rovnice (ODR), počáteční úloha, numerické řešení ODR.
Odvoďte Eulerovu metodu a její modifikace pro přibližné řešení ODR, vysvětlete pojem Taylorova řada a možnosti jejího využití při řešení ODR, popište metodu Runge-Kutta.
Popište způsob odhadu chyby numerického řešení.
Popište příkaz NDSolve ze software Mathematica, jeho parametry a metody, které využívá při řešení ODR.
Naprogramujte v software Mathematica výše zmíněné metody řešení. Na jednoduchých příkladech pak ukažte rozdíly v přesnosti výpočtu, náročnosti výpočtu apod. Ukázkové příklady řešte i pomocí příkazu NDSolve.
Řešte konkrétní praktickou úlohu (návrh matematického modelu, řešení v software Mathematica, zhodnocení výsledků).
Recommended resources
VITÁSEK, E.; PRÁGER, M.; BABUŠKA, I. Numerické řešení diferenciálních rovnic. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1964. 238 s.
VITÁSEK, E. Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic. Praha : Academia Praha, 1994. 409 s.
BRAUN, M. Differential Equations And Their Applications. New York : Springer, 1993. 718 s.
KUČERA, R. Numerické metody. Ostrava, 2008. 143 s. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ: TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA.
KUFNER A. Obyčejné diferenciální rovnice. Plzeň, 1993. 159 s. Skripta. Západočeská univerzita.
Recommended resources
VITÁSEK, E.; PRÁGER, M.; BABUŠKA, I. Numerické řešení diferenciálních rovnic. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1964. 238 s.
VITÁSEK, E. Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic. Praha : Academia Praha, 1994. 409 s.
BRAUN, M. Differential Equations And Their Applications. New York : Springer, 1993. 718 s.
KUČERA, R. Numerické metody. Ostrava, 2008. 143 s. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ: TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA.
KUFNER A. Obyčejné diferenciální rovnice. Plzeň, 1993. 159 s. Skripta. Západočeská univerzita.
