Tato bakalářská práce pojednává o numerických metodách řešení pro obyčejné diferenciální rovnice. V teoretické části definuji pojmy diferenciálních rovnic, jejich způsoby řešení, důležitost ve vědě. Dále představuji software Mathematica, příkazy pro numerická řešení, jejich parametry. V praktické části představuji algoritmy pro jednotlivé metody řešení, které ukazuji na ukázkových příkladech. Dále řeším konkrétní úlohu, která vede na obyčejnou diferenciální rovnici.
Anotace v angličtině
This bachelor thesis deals with numerical methods of solving ordinary differential equations. In the theoretical part I explain what are differential equations, how to solve them and their importance in sciences. Furthermore I introduce the software Mathematica. I show commands for numerical solutions and their parametres. In the practical part there are demostrated creating algorithms for solving particular methods and I show them in sample examples. Also I solve a practical problem, which leads to an ordinary differential equation.
Tato bakalářská práce pojednává o numerických metodách řešení pro obyčejné diferenciální rovnice. V teoretické části definuji pojmy diferenciálních rovnic, jejich způsoby řešení, důležitost ve vědě. Dále představuji software Mathematica, příkazy pro numerická řešení, jejich parametry. V praktické části představuji algoritmy pro jednotlivé metody řešení, které ukazuji na ukázkových příkladech. Dále řeším konkrétní úlohu, která vede na obyčejnou diferenciální rovnici.
Anotace v angličtině
This bachelor thesis deals with numerical methods of solving ordinary differential equations. In the theoretical part I explain what are differential equations, how to solve them and their importance in sciences. Furthermore I introduce the software Mathematica. I show commands for numerical solutions and their parametres. In the practical part there are demostrated creating algorithms for solving particular methods and I show them in sample examples. Also I solve a practical problem, which leads to an ordinary differential equation.
Definujte pojmy obyčejná diferenciální rovnice (ODR), počáteční úloha, numerické řešení ODR.
Odvoďte Eulerovu metodu a její modifikace pro přibližné řešení ODR, vysvětlete pojem Taylorova řada a možnosti jejího využití při řešení ODR, popište metodu Runge-Kutta.
Popište způsob odhadu chyby numerického řešení.
Popište příkaz NDSolve ze software Mathematica, jeho parametry a metody, které využívá při řešení ODR.
Naprogramujte v software Mathematica výše zmíněné metody řešení. Na jednoduchých příkladech pak ukažte rozdíly v přesnosti výpočtu, náročnosti výpočtu apod. Ukázkové příklady řešte i pomocí příkazu NDSolve.
Řešte konkrétní praktickou úlohu (návrh matematického modelu, řešení v software Mathematica, zhodnocení výsledků).
Zásady pro vypracování
Definujte pojmy obyčejná diferenciální rovnice (ODR), počáteční úloha, numerické řešení ODR.
Odvoďte Eulerovu metodu a její modifikace pro přibližné řešení ODR, vysvětlete pojem Taylorova řada a možnosti jejího využití při řešení ODR, popište metodu Runge-Kutta.
Popište způsob odhadu chyby numerického řešení.
Popište příkaz NDSolve ze software Mathematica, jeho parametry a metody, které využívá při řešení ODR.
Naprogramujte v software Mathematica výše zmíněné metody řešení. Na jednoduchých příkladech pak ukažte rozdíly v přesnosti výpočtu, náročnosti výpočtu apod. Ukázkové příklady řešte i pomocí příkazu NDSolve.
Řešte konkrétní praktickou úlohu (návrh matematického modelu, řešení v software Mathematica, zhodnocení výsledků).
Seznam doporučené literatury
VITÁSEK, E.; PRÁGER, M.; BABUŠKA, I. Numerické řešení diferenciálních rovnic. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1964. 238 s.
VITÁSEK, E. Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic. Praha : Academia Praha, 1994. 409 s.
BRAUN, M. Differential Equations And Their Applications. New York : Springer, 1993. 718 s.
KUČERA, R. Numerické metody. Ostrava, 2008. 143 s. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ: TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA.
KUFNER A. Obyčejné diferenciální rovnice. Plzeň, 1993. 159 s. Skripta. Západočeská univerzita.
Seznam doporučené literatury
VITÁSEK, E.; PRÁGER, M.; BABUŠKA, I. Numerické řešení diferenciálních rovnic. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1964. 238 s.
VITÁSEK, E. Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic. Praha : Academia Praha, 1994. 409 s.
BRAUN, M. Differential Equations And Their Applications. New York : Springer, 1993. 718 s.
KUČERA, R. Numerické metody. Ostrava, 2008. 143 s. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ: TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA.
KUFNER A. Obyčejné diferenciální rovnice. Plzeň, 1993. 159 s. Skripta. Západočeská univerzita.
Přílohy volně vložené
1 CD
Přílohy vázané v práci
ilustrace, grafy, tabulky
Převzato z knihovny
Ne
Plný text práce
Přílohy
Posudek(y) oponenta
Hodnocení vedoucího
Záznam průběhu obhajoby
Studentka seznámila komisi s obsahem a výsledky své bakalářské práce v krátké prezentaci. Po přečtení posudků vedoucího a oponenta práce následovala diskuze, ve které byly položeny následující dotazy:
dr. Řezníčková:
1) Na str. 31 máte uvedeny ukázkové příklady, které nejsou zadány korektně. U druhého z nich je uvedeno špatné řešení, pravděpodobně jde o překlep. Upřesněte, jaké je správné řešení této diferenciální rovnice.
doc. Jašek:
1) Co je to derivace a jaký má význam?
2) Co je to integrál?
Studentka na položené dotazy odpověděla. Následovalo zkoušení ze dvou předmětů.